로그-로그(log-log) 모형 = 두 변수 사이의 비율적 관계 분석 목적 250612

“로그-로그(log-log) 모형”은 통계학과 계량경제학에서 두 변수 사이의 비율적 관계를 분석할 때 사용하는 회귀모형입니다. 이름 그대로, 독립변수와 종속변수 모두 로그(log)를 취한 상태로 회귀 분석을 수행하는 모델입니다.

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1. 로그-로그 모형이란?

일반적인 형태는 다음과 같습니다.

  log(Y) = β₀ + β₁·log(X) + ε

여기서
• Y는 종속변수 (예: 소비 지출)
• X는 독립변수 (예: 소득)
• β₁은 기울기 계수
• ε는 오차항입니다.

여기서 중요한 점은, 로그를 취하면 곱셈 관계가 덧셈 관계로 바뀐다는 점입니다. 즉,
  Y = A·X^β₁
과 같은 거듭제곱(power) 함수 형태의 관계를 선형 회귀로 분석할 수 있게 해주는 것입니다.

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2. 왜 사용하는가? (사용 목적)

로그-로그 모형은 주로 다음과 같은 상황에서 사용됩니다.
• 비율적 관계를 분석할 때
 예: 소득이 1% 증가하면 소비는 몇 % 증가하는가?
 → 이 경우 β₁은 탄력성(elasticity) 이 되어,
  X가 1% 변할 때 Y가 몇 % 변하는지를 나타냅니다.
• 변수 간 관계가 비선형(non-linear)일 때
 원래 데이터가 직선관계가 아니더라도, 로그를 취하면 직선에 가까워져 분석이 쉬워짐.
• 변수의 분포가 치우쳐 있을 때 (우측으로 긴 꼬리)
 예: 가격, 소득, 매출 등
 → 로그를 취하면 분포가 좀 더 정규분포에 가까워지고 회귀 결과가 안정화됨.

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3. 왜 만들었는가? (도입 배경)

로그-로그 모형은 자연 현상이나 경제 현상에서 곱셈적 구조(multiplicative structure) 를 보이는 경우가 많다는 점에서 유래했습니다.
예를 들어,
• 소득이 증가하면 소비가 일정 비율만큼 증가한다
• 광고비를 늘리면 매출이 일정 비율만큼 증가한다

이런 비율적 또는 탄력적 관계를 선형 회귀로 분석하려면 로그 변환이 필요하게 됩니다.

즉, 선형 회귀의 틀 안에서 비선형 관계를 분석하기 위해 로그-로그 모형이 등장하게 된 것입니다.

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4. 누가 고안했는가?

로그-로그 모형을 처음 만든 특정 개인 이름은 알려져 있지 않습니다.
다만, 이런 형태의 모델은 20세기 초반부터 통계학과 경제학에서 자연스럽게 사용되기 시작했습니다.

특히, 계량경제학자들이 수요 함수, 생산 함수, 소비 함수 등을 분석할 때 이 모델을 많이 활용했으며,
대표적인 예로는 다음과 같은 모형이 있습니다:
• Cobb-Douglas 생산함수:
  Y = A·K^α · L^β
 → 로그를 취하면 로그-로그 모형이 됩니다.

따라서, 로그-로그 모형은 특정 인물보다는 경제학과 통계학의 발전 과정에서 자연스럽게 형성된 모형입니다.

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정리
• 정의: 종속변수와 독립변수 모두에 로그를 취한 회귀모형
• 목적: 비율적 관계(탄력성 등) 분석, 비선형 관계를 선형 회귀로 표현
• 사용 시점: 비율, 탄력성, 우측 치우친 분포, 곱셈적 구조가 있을 때
• 고안자: 특정 인물 없이, 경제학/통계학 발전 과정에서 자연 발생