선형대수학(線型代數學, Linear Algebra) 왜 만든건지 어디에 쓰이는지 250611

선형대수학(線型代數學, Linear Algebra)은 벡터와 행렬을 다루는 수학의 한 분야로, 다음과 같은 목적과 활용을 갖고 있습니다.

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1. 고안된 배경
• 연립 1차 방정식의 체계적 해법
여러 개의 1차 방정식으로 이루어진 연립방정식을 간단하고 체계적으로 풀기 위해 고안되었습니다.
• 벡터 공간의 이해
2차원·3차원뿐 아니라 더 높은 차원의 공간을 다루기 위해 ‘추상적인 벡터 공간’ 개념을 정립하고자 했습니다.

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2. 해결하고자 하는 문제
1. 연립방정식 해법
• 경제 모델(수요·공급), 전기 회로 해석 등에서 나타나는 다수의 1차 방정식을 효율적으로 풉니다.
2. 공간과 변환의 표현
• 회전·평행이동·확대·축소 같은 기하 변환을 행렬 곱셈으로 간단히 다룰 수 있습니다.
3. 최적화 문제
• 선형 혹은 준선형 제약조건 하에서 목표 함수를 최대·최소화하는 데 필수적입니다.
4. 데이터 분석
• 대량의 데이터를 차원 축소(예: PCA), 추천 시스템, 회귀분석 등에 활용합니다.

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3. 주요 활용 분야
• 컴퓨터 그래픽스
3D 모델의 회전·투영·렌더링에 행렬 연산이 필수적입니다.
• 머신러닝·인공지능
데이터 표현(특징 벡터), 신경망의 가중치 업데이트, 차원 축소 기법 등에 광범위하게 쓰입니다.
• 로봇공학 및 제어공학
로봇의 움직임 계산, 센서 융합, 최적 제어 문제를 벡터·행렬로 모델링합니다.
• 물리학·공학
양자역학의 상태벡터, 전자기학·탄성학의 체계적 해석, 구조 해석 등에서 핵심 도구입니다.
• 경제·금융 모델링
포트폴리오 최적화, 균형 가격 모형, 리스크 분석 등에서 다변량 연산이 필요합니다.

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4. 요약

선형대수는 “많은 변수로 이루어진 문제를 구조적으로 해석하고 계산하기” 위해 탄생했으며, 오늘날 거의 모든 과학·공학·데이터 분야의 기초가 됩니다.