double exponential smoothing 240912

q1: double exponential smoothing

a1:

이중 지수 평활법은 단순 지수 평활법을 확장한 것으로, 데이터에 추세(trend)가 있을 때 사용합니다. 이 방법은 레벨(level)과 추세 두 가지 요소를 고려합니다.

주요 개념:

1. 레벨(Level): 데이터의 현재 값
2. 추세(Trend): 데이터의 증가 또는 감소 경향

이중 지수 평활법은 두 개의 평활 상수를 사용합니다:
- α (알파): 레벨에 대한 평활 상수 (0 < α < 1)
- β (베타): 추세에 대한 평활 상수 (0 < β < 1)

공식:

1. 레벨 방정식: L_t = α * Y_t + (1 - α) * (L_{t-1} + T_{t-1})
2. 추세 방정식: T_t = β * (L_t - L_{t-1}) + (1 - β) * T_{t-1}
3. 예측 방정식: F_{t+m} = L_t + m * T_t

여기서,
L_t: t 시점의 레벨
T_t: t 시점의 추세
Y_t: t 시점의 실제 관측값
F_{t+m}: t+m 시점의 예측값 (m은 미래 기간 수)

간단한 숫자 예시를 들어보겠습니다:

다음과 같은 5일간의 판매 데이터가 있다고 가정해봅시다:

1일차: 100
2일차: 105
3일차: 110
4일차: 115
5일차: 120

α = 0.5, β = 0.4를 사용하겠습니다.

계산 과정:

1. 1일차:
   L_1 = Y_1 = 100
   T_1 = Y_2 - Y_1 = 5 (초기 추세 추정)

2. 2일차:
   L_2 = 0.5 * 105 + 0.5 * (100 + 5) = 105
   T_2 = 0.4 * (105 - 100) + 0.6 * 5 = 5

3. 3일차:
   L_3 = 0.5 * 110 + 0.5 * (105 + 5) = 110
   T_3 = 0.4 * (110 - 105) + 0.6 * 5 = 5

4. 4일차:
   L_4 = 0.5 * 115 + 0.5 * (110 + 5) = 115
   T_4 = 0.4 * (115 - 110) + 0.6 * 5 = 5

5. 5일차:
   L_5 = 0.5 * 120 + 0.5 * (115 + 5) = 120
   T_5 = 0.4 * (120 - 115) + 0.6 * 5 = 5

이제 6일차를 예측해 봅시다:
F_6 = L_5 + T_5 = 120 + 5 = 125

이 예시에서 볼 수 있듯이:

1. 레벨(L)은 데이터의 현재 값을 나타내며, 실제 관측값과 이전 예측의 가중 평균입니다.
2. 추세(T)는 일정하게 5를 유지하고 있습니다. 이는 데이터가 일정한 속도로 증가하고 있음을 나타냅니다.
3. 예측값은 마지막 레벨에 추세를 더한 것입니다.

이중 지수 평활법의 장점:
- 추세를 고려하므로 단순 지수 평활법보다 더 정확한 예측이 가능합니다.
- 데이터의 장기적인 방향성을 반영할 수 있습니다.

단점:
- 두 개의 평활 상수(α, β)를 선택해야 하므로 더 복잡합니다.
- 계절성이 있는 데이터에는 적합하지 않을 수 있습니다.