고유벡터(eigenvector) = 데이터가 가장 퍼져 있는 방향(분산이 큰 방향)을 찾을 때 고유벡터를 사용 250611

고유벡터(eigenvector)는 선형대수에서 아주 중요한 개념으로, “어떤 선형 변환(혹은 행렬) 아래에서 방향이 변하지 않는 벡터”를 말합니다. 좀 더 쉽고 자세히 풀어 설명드리면 다음과 같습니다.

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1. 선형 변환과 벡터의 변화
• 벡터는 크기와 방향을 가진 화살표라고 생각하시면 됩니다.
• 선형 변환은 평면이나 공간상의 모든 벡터를 일정한 규칙에 따라 이동·회전·늘이기·줄이기 등을 한 번에 처리하는 “함수”입니다.
• 예를 들어, 2×2 행렬 A를 생각할 때, 벡터 \mathbf{v}에 A를 곱하면 A\mathbf{v}라는 새로운 벡터가 나옵니다. 이때 벡터의 방향과 길이가 일반적으로 바뀝니다.

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2. 고유벡터(eigenvector)의 정의
• 고유벡터 \mathbf{v}는
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
를 만족하는 0이 아닌(non-zero) 벡터입니다.
여기서
• A는 변환을 나타내는 행렬,
• \lambda는 **고유값(eigenvalue)**이라 부르는 상수입니다.
• 이 식의 의미는, “행렬 A로 \mathbf{v}를 변환해도, 벡터의 방향은 그대로이고 크기만 \lambda배가 된다”는 것입니다.

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3. 고유벡터의 의미와 직관
1. 방향 불변성
• 일반 벡터는 A를 곱할 때 회전하거나 뒤집히기도 합니다.
• 고유벡터는 그 방향이 변하지 않고, 단지 늘어나거나(양의 고유값) 반대 방향으로 뒤집히며(음의 고유값) 크기만 바뀝니다.
2. 고유값(\lambda) 해석
• |\lambda|>1 이면 벡터가 커지고,
• |\lambda|<1 이면 작아지고,
• \lambda<0 이면 방향이 반대로 뒤집힙니다.
3. 시스템의 본질 파악
• 물리학에서는 진동 모드, 안정성 분석 등에,
• 데이터 과학에서는 PCA(주성분 분석)에서 분산이 큰 방향을 잡아내는 데 사용됩니다.

5. 고유벡터를 왜 배우나요?
• 차원 축소(PCA): 데이터가 가장 퍼져 있는 방향(분산이 큰 방향)을 찾을 때 고유벡터를 사용합니다.
• 시스템 분석: 물리나 공학에서는 진동 모드, 안정성(평형점의 안정·불안정) 분석에 필수적입니다.
• 컴퓨터 그래픽스: 3D 회전·변환의 축을 찾거나 물체의 주축(principal axis)을 계산할 때 이용합니다.